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Hauptbeschreibung
MINT-Studiengänge sind beliebt und die Abschlüsse gefragter denn je. Sie halten aber auch einige Herausforderungen bereit - nicht zuletzt, weil Mathematik für sie unverzichtbar ist und mitunter in hohem Tempo vermittelt wird. Keine Sorge: Mit diesem Buch knüpfen Sie an Ihr Schulwissen an, lernen Schritt für Schritt genau das, was Sie noch brauchen, und festigen Ihre Kenntnisse durch Aufgaben, die zu jedem Kapitel mit ausführlichen Lösungen bereitstehen. Sie lernen außerdem, mit der freien Mathematik-Software SageMath zu arbeiten. Gönnen Sie sich die Vorlaufzeit und gehen Sie gut vorbereitet an den Start!
Aus dem Inhalt:
Mathematische Grundlagen mit Tests zur Selbsteinschätzung
Logarithmen und Wurzeln
Sinus und Co. gründlich beleuchtet
Folgen, Reihen und Grenzwerte
Stetigkeit und Monotonie
Ableitungen und Integrale
Komplexe Zahlen
Wahrscheinlichkeiten und Statistik
Bool’sche Algebra, Ausagenlogik und Digitales
Beweistechniken
Kurvendiskussion
Mantelflächen und Rotationskörper integrieren
Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung
Polar- und Kugelkoordinaten
Differentialrechnung in mehreren Dimensionen
Vektoren, Vektorräume und Matrizen
Analytische Geometrie
Einführung in numerische Verfahren
Arbeiten mit Mathematik-Software
Zitat aus einer Besprechung
»Der Band kann im Bereich der Mathematik wirksam vorbereiten auf alle Studiengänge mit mathematischer Ausrichtung.«
MINT-Studiengänge sind beliebt und die Abschlüsse gefragter denn je. Sie halten aber auch einige Herausforderungen bereit - nicht zuletzt, weil Mathematik für sie unverzichtbar ist und mitunter in hohem Tempo vermittelt wird. Keine Sorge: Mit diesem Buch knüpfen Sie an Ihr Schulwissen an, lernen Schritt für Schritt genau das, was Sie noch brauchen, und festigen Ihre Kenntnisse durch Aufgaben, die zu jedem Kapitel mit ausführlichen Lösungen bereitstehen. Sie lernen außerdem, mit der freien Mathematik-Software SageMath zu arbeiten. Gönnen Sie sich die Vorlaufzeit und gehen Sie gut vorbereitet an den Start!
Aus dem Inhalt:
Mathematische Grundlagen mit Tests zur Selbsteinschätzung
Logarithmen und Wurzeln
Sinus und Co. gründlich beleuchtet
Folgen, Reihen und Grenzwerte
Stetigkeit und Monotonie
Ableitungen und Integrale
Komplexe Zahlen
Wahrscheinlichkeiten und Statistik
Bool’sche Algebra, Ausagenlogik und Digitales
Beweistechniken
Kurvendiskussion
Mantelflächen und Rotationskörper integrieren
Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung
Polar- und Kugelkoordinaten
Differentialrechnung in mehreren Dimensionen
Vektoren, Vektorräume und Matrizen
Analytische Geometrie
Einführung in numerische Verfahren
Arbeiten mit Mathematik-Software
Zitat aus einer Besprechung
»Der Band kann im Bereich der Mathematik wirksam vorbereiten auf alle Studiengänge mit mathematischer Ausrichtung.«
Einleitung ... 21
Teil I Grundlagen ... 23
1. Mengenweise Mengen ... 24
1.1 ... Testen Sie sich selbst ... 25
1.2 ... Mengen und Elemente ... 25
1.3 ... Entspannungsübungen ... 30
1.4 ... Lösungen ... 30
2. Gesetze der Algebra ... 32
2.1 ... Testen Sie sich selbst ... 33
2.2 ... Gesetze, die jeder kennt ... 34
2.3 ... Brüche, gemischt und dezimal ... 40
2.4 ... Potenzen und Wurzeln ... 47
2.5 ... Entspannungsübungen ... 51
2.6 ... Lösungen ... 52
3. (Un-)gleichungen ... 54
3.1 ... Testen Sie sich selbst ... 55
3.2 ... Einfache Gleichungen und Ungleichungen ... 56
3.3 ... Quadratische Gleichungen und Bruchgleichungen ... 59
3.4 ... Gleichungssysteme ... 63
3.5 ... Sachaufgaben ... 67
3.6 ... Gleichungen lösen mit dem PC ... 69
3.7 ... Entspannungsübungen ... 73
3.8 ... Lösungen ... 74
4. Funktionen im kartesischen Koordinatensystem ... 82
4.1 ... Testen Sie sich selbst ... 83
4.2 ... Das Achsenkreuz ... 83
4.3 ... Lineare Funktionen ... 85
4.4 ... Parabeln ... 88
4.5 ... Wurzel- und andere Funktionen ... 93
4.6 ... Entspannungsübungen ... 97
4.7 ... Lösungen ... 98
5. e und log ... 104
5.1 ... Testen Sie sich selbst! ... 105
5.2 ... Mehr, mehr, mehr! ... 105
5.3 ... Logarithmen und ihre Regeln ... 111
5.4 ... Entspannungsübungen ... 115
5.5 ... Lösungen ... 116
6. Sinus und Cosinus ... 120
6.1 ... Testen Sie sich selbst ... 121
6.2 ... Rechtwinklige Dreiecke ... 122
6.3 ... Der Einheitskreis ... 124
6.4 ... Entspannungsübungen ... 133
6.5 ... Lösungen ... 134
7. Wo ist meine Einheit? ... 136
7.1 ... Testen Sie sich selbst ... 137
7.2 ... Hoch, weit, schwer ... 137
7.3 ... Von piko bis Tera ... 141
7.4 ... Wahnsinnig große (und kleine) Zahlen ... 143
7.5 ... Runden, aber sinnvoll ... 144
7.6 ... Entspannungsübungen ... 147
7.7 ... Lösungen ... 148
8. Flächen und Räume ... 150
8.1 ... Testen Sie sich selbst ... 151
8.2 ... Flächeninhalt und Umfang ... 151
8.3 ... Volumen und Oberfläche ... 155
8.4 ... Entspannungsübungen ... 159
8.5 ... Lösungen ... 160
9. Vielleicht sechs Richtige ... 164
9.1 ... Testen Sie sich selbst ... 165
9.2 ... Statistik ... 166
9.3 ... Wahrscheinlichkeit ... 174
9.4 ... Entspannungsübungen ... 181
9.5 ... Lösungen ... 181
10. Herrn Booles Algebra ... 184
10.1 ... Testen Sie sich selbst ... 185
10.2 ... Aussagenlogik ... 185
10.3 ... Wie Computer rechnen ... 188
10.4 ... Entspannungsübungen ... 192
10.5 ... Lösungen ... 192
11. Was zu beweisen ist ... 194
11.1 ... Mathematische Beweise ... 195
11.2 ... Vollständige Induktion ... 195
11.3 ... Indirekter Beweis ... 197
11.4 ... Entspannungsübung ... 201
11.5 ... Lösungen ... 201
Teil II Analysis ... 205
12. Folgen und Grenzwerte ... 206
12.1 ... Zahlenfolgen ... 207
12.2 ... Grenzwerte und Konvergenz ... 210
12.3 ... Entspannungsübungen ... 213
12.4 ... Lösungen ... 213
13. Reihen ... 216
13.1 ... Unendliche Summen ... 217
13.2 ... Besondere Reihen ... 219
13.3 ... Entspannungsübungen ... 223
13.4 ... Lösungen ... 223
14. Stetigkeit und Monotonie ... 224
14.1 ... Grenzwerte von Funktionen ... 225
14.2 ... Stetige Funktionen ... 232
14.3 ... Entspannungsübungen ... 236
14.4 ... Lösungen ... 236
15. Funktionen ableiten ... 240
15.1 ... Umschalten auf wahnsinnige Geschwindigkeit! ... 241
15.2 ... Die Steigung der Tangenten ... 244
15.3 ... Ableitungsregeln ... 248
15.4 ... Entspannungsübungen ... 255
15.5 ... Lösungen ... 255
16. Noch mehr Funktionen ableiten ... 256
16.1 ... Exponentialfunktion ableiten ... 257
16.2 ... Trigonometrische Funktionen ... 261
16.3 ... Entspannungsübungen ... 265
16.4 ... Lösungen ... 265
17. Eigenschaften von Funktionen ... 268
17.1 ... Funktionengeometrie ... 269
17.2 ... Königsdisziplin Kurvendiskussion ... 279
17.3 ... Funktionen à la carte ... 283
17.4 ... Entspannungsübungen ... 290
17.5 ... Lösungen ... 290
18. Integralrechnung ... 296
18.1 ... Das riemannsche Integral ... 297
18.2 ... Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ... 300
18.3 ... Anwendungen der Integration ... 313
18.4 ... Entspannungsübungen ... 318
18.5 ... Lösungen ... 319
19. Die Bewegungsgleichung ... 322
19.1 ... Kraft und Beschleunigung ... 323
19.2 ... Die zweite Dimension ... 327
19.3 ... Entspannungsübungen ... 332
19.4 ... Lösungen ... 332
20. Die Differentialgleichung erster Ordnung ... 334
20.1 ... Wo Differentialgleichungen vorkommen ... 335
20.2 ... Die Differentialgleichung erster Ordnung lösen ... 338
20.3 ... Entspannungsübungen ... 346
20.4 ... Lösungen ... 346
21. Das Pünktchen auf dem i ... 348
21.1 ... Die komplexen Zahlen ... 349
21.2 ... Die komplexe Zahlenebene ... 353
21.3 ... Die eulersche Formel ... 358
21.4 ... Funktionen und Folgen mit komplexen Zahlen ... 360
21.5 ... Entspannungsübungen ... 362
21.6 ... Lösungen ... 363
22. Hin und wieder zurück ... 364
22.1 ... Der harmonische Oszillator ... 365
22.2 ... Differentialgleichung zweiter Ordnung ... 368
22.3 ... Entspannungsübungen ... 376
22.4 ... Lösungen ... 376
23. Mantelflächen und Kurvenlängen integrieren ... 380
23.1 ... Kurvenlängen integrieren ... 381
23.2 ... Mantelflächenintegrale ... 384
23.3 ... Entspannungsübungen ... 387
23.4 ... Lösungen ... 387
24. Nicht-kartesische Koordinatensysteme ... 390
24.1 ... Polarkoordinaten ... 391
24.2 ... Dreidimensionale Koordinatensysteme ... 395
24.3 ... Entspannungsübungen ... 399
24.4 ... Lösungen ... 399
Teil III Lineare Algebra ... 403
25. Vektorrechnung ... 404
25.1 ... Vektoren in der euklidischen Ebene ... 405
25.2 ... Die Basis ... 410
25.3 ... Entspannungsübungen ... 414
25.4 ... Lösungen ... 414
26. Lineare Gleichungssysteme ... 418
26.1 ... Das Gauß-Verfahren ... 419
26.2 ... Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme ... 422
26.3 ... Entspannungsübungen ... 428
26.4 ... Lösungen ... 428
27. Willkommen in der Matrix ... 430
27.1 ... Lineare Abbildungen ... 431
27.2 ... Verknüpfung linearer Abbildungen ... 434
27.3 ... Entspannungsübungen ... 441
27.4 ... Lösungen ... 441
28. Eigenwerte, Determinanten und Co. ... 444
28.1 ... Matrizen unter der Lupe ... 445
28.2 ... Eigenwerte ... 448
28.3 ... Produkte ... 454
28.4 ... Entspannungsübungen ... 459
28.5 ... Lösungen ... 460
29. Besondere Matrizen anwenden ... 464
29.1 ... Geometrische Transformationen ... 465
29.2 ... Bildbearbeitung ... 470
29.3 ... Entspannungsübungen ... 473
29.4 ... Lösungen ... 473
30. Mehrdimensionale Analysis ... 476
30.1 ... Abbildungen in mehr als einer Dimension ... 477
30.2 ... Differentialrechnung in ?n ... 480
30.3 ... Entspannungsübungen ... 486
30.4 ... Lösungen ... 486
31. Numerische Verfahren ... 488
31.1 ... Intervallschachtelung ... 489
31.2 ... Interpolation ... 492
31.3 ... Ausgleichsrechnung ... 496
31.4 ... Numerische Integration ... 498
31.5 ... Entspannungsübungen ... 502
31.6 ... Lösungen ... 503
32. Analytische Geometrie ... 506
32.1 ... Ein Universum voller Vektoren ... 507
32.2 ... Begegnungen im Nichts ... 519
32.3 ... Entspannungsübungen ... 529
32.4 ... Lösungen ... 530
Formelsammlung ... 535
Literaturverzeichnis ... 538
Index ... 539